$\\require{AMScd}$<\/p>\n
<\/p>\n
Es sei $X\/k$ eine algebraische Variet\u00e4t \u00fcber $k = \\CC$. Betrachte die Sequenz $(\\Omega^\\bullet_{X|k})$<\/p>\n
\\[
\n\\Ohol_X = \\Omega^0_{X|k} \\xrightarrow{d^0} \\Omega^1_{X|k} \\xrightarrow{d^1} \\Omega^2_{X|k}
\n\\xrightarrow{d^2} \\cdots
\n\\]<\/p>\n
wobei $\\Omega^p_{X|k} = \\bigwedge^p \\Omega_{X|k}$ und $d^p:\\Omega^p_{X|k} \\to \\Omega^{p+1}_{X|k}$ die \u00e4u\u00dfere Ableitung ist. Diese ist $k$–linear aber nicht $\\Ohol_X$–linear.<\/p>\n
Man definiert die $i$–te de Rham Kohomologie von $X$ als<\/p>\n
\\[
\n\\Hdr^i(X) = \\HH^i(\\Omega^\\bullet_{X|k})
\n\\]<\/p>\n
wobei $\\HH^i(L^\\bullet)$ f\u00fcr die $i$–te Hyperkohomologie des Komplexes $L^\\bullet$ steht.<\/p>\n
Ist $X$ eine affine Variet\u00e4t, so ist<\/p>\n
\\[
\n\\HH^i(\\Omega^\\bullet_{X|k}) = h^i(\\Omega^\\bullet_{X|k}(X))
\n\\]<\/p>\n
wobei $h^i(L^\\bullet)$ f\u00fcr die gew\u00f6hnliche $i$–te Kohomologie von $L^\\bullet$ steht. Dies gilt, weil $H^j(X, \\Omega^p_{X|k}) = 0$ f\u00fcr $j > 0$, denn $\\Omega^p_{X|k}$ ist eine quasikoh\u00e4rente Garbe auf einem affinen Schema.<\/p>\n
Theorem<\/strong> Dies geschieht mittels $D$–Moduln und ist beschrieben in<\/p>\n Algorithmic Computation of de Rham Cohomology of Complements of Complex Affine Varieties, Aus<\/p>\n On the De Rham cohomology of algebraic varieties, entnehmen wir in der Situation des Theorems und mit der Zusatzannahme, da\u00df $Y$ glatt ist, die Sequenz (Theorem 3.3):<\/p>\n \\[ wo $H_q(W)$ f\u00fcr die dort definierte de Rham Homologie<\/em> steht, und die Beziehungen (Proposition 3.4)<\/p>\n \\begin{align*} mit $\\dim X = n$ und $\\dim Y = r$ gelten.<\/p>\n Zusammen ergibt dies<\/p>\n \\[ oder auch mit $s = \\codim(Y, X) = n-r$:<\/p>\n \\[ Nun ist aber $\\Hdr^q(X) = \\Hdr^q(\\AFF^n_k) = 0$ f\u00fcr $q > 0$, also<\/p>\n \\[ Da $\\Hdr^q(U)$ nach obigem Theorem f\u00fcr alle $q$ berechnet werden kann, gilt dies auch f\u00fcr Es ist nun der Fall eines allgemeinen quasiprojektiven $X \\subseteq \\PSP^n_k$ zu diskutieren. Wir nehmen zun\u00e4chst an, da\u00df $X$ glatt<\/em> ist.<\/p>\n Es sei<\/p>\n \\[ mit abgeschlossenen Schemata $\\bar{X}, Z \\subseteq \\PSP^n_k$ und $Z = V(g_1,\\ldots,g_s)$ wo $g_i$ homogene Polynome im Koordinatenring von $\\PSP^n_k$ sind.<\/p>\n Nimmt man die offenen Mengen<\/p>\n \\[ so ist $V_i = U_i \\cap X$ eine offene \u00dcberdeckung von $X$ mit affinen, in $X$ offenen, Mengen.<\/p>\n Es ist sogar $V_{i_0 \\cdots i_q} = U_{i_0 \\cdots i_q} \\cap X \\subseteq U_{i_0 \\cdots i_q}$ ein abgeschlossenes glattes, affines Unterschema des affinen Schemas<\/p>\n \\[ Mit einer Veronese–Einbettung $v_d: \\PSP^n_k \\to \\PSP^N_k$ wobei $d = \\prod_{\\nu = 0}^q \\deg g_{i_\\nu}$ ist, ist<\/p>\n \\[ eine abgeschlossene Immersion. Dabei ist $w$ eine aus $\\prod_{\\nu=1}^q g_{i_\\nu}$ abgeleitete Linearform im Koordinatenring von $\\PSP^N_k$.<\/p>\n Da $i: V_{i_0 \\cdots i_q} \\to U_{i_0 \\cdots i_q}$ eine abgeschlossene Immersion ist, ist auch<\/p>\n \\[ eine abgeschlossene Immersion.<\/p>\n Es ist also $V_{i_0 \\cdots i_q} \\cong v’_d(V_{i_0 \\cdots i_q})$ sogar ein glattes abgeschlossenes Unterschema von $\\AFF^N_k$.<\/p>\n Nach obigem ist damit $\\Hdr^p(V_{i_0\\cdots i_q})$ explizit berechenbar.<\/p>\n <\/p>\n Betrachte nun die Cech-de Rham Spektralsequenz f\u00fcr die \u00dcberdeckung $\\cover{V} = (V_i)_{i\\in I}$ von $X$:<\/p>\n \\[ Nach allgemeinen S\u00e4tzen konvergiert $E^{pq}_r$ gegen die $\\Hdr^\\bullet(X)$:<\/p>\n \\[ Siehe daf\u00fcr<\/p>\n <\/p>\n On the de Rham cohomology of algebraic varieties, M. Stevenson<\/em>,<\/p>\n http:\/\/www-personal.umich.edu\/~stevmatt\/algebraic_de_rham.pdf<\/p><\/blockquote>\n Abschnitt 4.1, p. 7.<\/p>\n <\/p>\n Bildet man $E^{pq}_1$ mit Bildung der Kohomologie entlang der $p$–Achse, so ergibt sich<\/p>\n \\[ Man beachte daf\u00fcr, da\u00df, weil $V_{i_0,\\ldots,i_q}$ affin, die Gleichheit<\/p>\n \\[ gilt.<\/p>\n Wie oben bemerkt ist $\\Hdr^p(V_{i_0,\\ldots,i_q})$ explizit berechenbar und zumindest theoretisch ist damit auch der Grenzwert $\\Hdr^\\bullet(X)$ der Spektralsequenz einer expliziten Berechnung zug\u00e4nglich.<\/p>\n Bemerkung<\/strong> Das folgende Theorem ist aus obiger Arbeit von Hartshorne (Theorem 4.4):<\/p>\n Theorem<\/strong> Es gelte<\/p>\n Dann gibt es eine lange exakte Sequenz in der de Rham–Kohomologie<\/p>\n \\begin{equation} <\/p>\n Wir k\u00f6nnen es verwenden, um f\u00fcr ein beliebiges quasiprojektives Schema $X \\subseteq \\PSP^n_k = Z$ die Kohomologien $\\Hdr^q(X)$ zu berechnen.<\/p>\n Wir schreiben $X = X_0 \\cap U$ mit einem abgeschlossenen $X_0 \\subseteq \\PSP^n_k$ und einem offenen $U \\subseteq \\PSP^n_k$.<\/p>\n Wir k\u00f6nnen f\u00fcr $X_0$ eine Desingularisierung $f:X_0′ \\to X_0$ finden, sowie einen eigentlichen Morphismus $g:Z‘ \\to Z$ mit<\/p>\n \\[ wo die waagrechten Abbildungen abgeschlossene Immersionen und $X_0’$ und $Z’$ glatte Schemata sind. (Vergleiche die Bemerkung nach dem obigen Theorem in dem Artikel von Hartshorne). Die Abbildung $g$ ist die wiederholte Aufblasung an regul\u00e4ren Unterschemata.<\/p>\n Der Morphismus $f:X_0′ \\to X_0$ erf\u00fcllt nun die Bedingungen des vorigen Theorems mit $X = X_0$, $X‘ = X_0’$ sowie $Y = Y_0 \\subseteq X_0$, geeignetes echtes Unterschema mit $\\dim Y_0 < \\dim X_0$, und $Y‘ = Y_0′ = f^{-1}(Y_0)$. Man kann $Y_0$ als das Unterschema der singul\u00e4ren Punkte von $X_0$ w\u00e4hlen, (\\glqq strong desingularization\\grqq).<\/p>\n Bildet man die Basiserweiterung von $g$ mit $U \\to Z$ und die von $f$ mit $U \\cap X_0 \\to X_0$, so ergibt sich ein kompatibles System<\/p>\n \\begin{equation*} so da\u00df der Morphismus $f‘:f^{-1}(U \\cap X_0) \\to X$ die Bedingungen des vorigen Theorems mit $X = X$, $X‘ = f^{-1}(U \\cap X_0)$, $Y = Y_0 \\cap U$, $Y‘ = f’^{-1}(Y_0 \\cap U)$ erf\u00fcllt.<\/p>\n Es ist aber $X’$ als offener Teil von $X_0’$ ein glattes, quasiprojektives Schema, so da\u00df $\\Hdr^q(X‘)$ berechenbar ist. Ebenso sind $\\Hdr^q(Y)$ und $\\Hdr^q(Y‘)$ kraft Induktion \u00fcber die Dimension der Variet\u00e4t, deren Kohomologie gesucht wird, berechenbar.<\/p>\n Die lange exakte Sequenz aus dem vorigen Theorem ergibt deshalb Bedingungen, aus denen sich auch $\\Hdr^q(X)$ berechnen l\u00e4\u00dft:<\/p>\n \\begin{multline} Damit k\u00f6nnen nun $\\Hdr^q(X)$ f\u00fcr alle quasiprojektiven $X \\subseteq \\PSP^n_k$ berechnet werden.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" $\\require{AMScd}$ Es sei $X\/k$ eine algebraische Variet\u00e4t \u00fcber $k = \\CC$. Betrachte die Sequenz $(\\Omega^\\bullet_{X|k})$ \\[ \\Ohol_X = \\Omega^0_{X|k} \\xrightarrow{d^0} \\Omega^1_{X|k} \\xrightarrow{d^1} \\Omega^2_{X|k} \\xrightarrow{d^2} \\cdots \\] wobei $\\Omega^p_{X|k} = \\bigwedge^p \\Omega_{X|k}$ und $d^p:\\Omega^p_{X|k} \\to \\Omega^{p+1}_{X|k}$ die \u00e4u\u00dfere Ableitung ist. … Weiterlesen
\nEs sei $U = X – Y$ mit $X = \\AFF^n_k$ und $Y = V(f_1,\\ldots,f_r)$ einem abgeschlossenen Unterschema von $X$. Es ist dann konstruktiv m\u00f6glich $\\Hdr^i(U)$ zu berechnen.$\\square$<\/p>\n
\nU. Walther<\/em>, J. Symb. Comput. 29, No. 4–5, 795–839<\/p>\n
\nR. Hartshorne<\/em>, Publ. Math., Inst. Hautes \\’Etud. Sci. 45, 5–99<\/p>\n
\n\\cdots H_q(Y) \\to H_q(X) \\to H_q(X – Y) \\to H_{q-1}(Y) \\to H_{q-1}(X) \\to \\cdots
\n\\]<\/p>\n
\nH_q(X) & = \\Hdr^{2n – q}(X) \\\\
\nH_q(Y) & = \\Hdr^{2r – q}(Y)
\n\\end{align*}<\/p>\n
\n\\cdots \\to \\Hdr^{2 r – q}(Y) \\to \\Hdr^{2 n – q}(X) \\to \\Hdr^{2 n – q}(U) \\to
\n\\Hdr^{2r – q + 1}(Y) \\to \\Hdr^{2 n – q + 1}(X) \\to \\cdots
\n\\]<\/p>\n
\n\\cdots \\to \\Hdr^{q – 2 s}(Y) \\to \\Hdr^q(X) \\to \\Hdr^q(U) \\to \\Hdr^{q + 1 – 2 s}(Y) \\to
\n\\Hdr^{q+1}(X) \\to \\cdots
\n\\]<\/p>\n
\n\\Hdr^i(Y) = \\Hdr^{i + 2 s – 1}(U)
\n\\]<\/p>\n
\n$\\Hdr^i(Y)$.<\/p>\n
\nX = \\bar{X} \\cap (\\PSP^n_k – Z) = \\bar{X} \\cap U
\n\\]<\/p>\n
\nU_i = D_+(g_i) \\subseteq \\PSP^n_k
\n\\]<\/p>\n
\nU_{i_0 \\cdots i_q} = U_{i_0} \\cap \\cdots \\cap U_{i_q} = D_+(g_{i_0} \\cdot \\cdots \\cdot g_{i_q}).
\n\\]<\/p>\n
\nv_d:v_d^{-1}(D_+(w)) = U_{i_0 \\cdots i_q} \\to D_+(w) = \\AFF^N_k
\n\\]<\/p>\n
\nv’_d = v_d \\circ i:V_{i_0 \\cdots i_q} \\to U_{i_0 \\cdots i_q} \\xrightarrow{v_d} D_+(w) = \\AFF^N_k
\n\\]<\/p>\n
\nE^{pq}_0 = \\Cc^q(\\cover{V},\\Omega_{X|k}^p) =
\n\\prod_{i_0 < \\cdots < i_q} \\Gamma(V_{i_0,\\ldots,i_q}, \\Omega_{X|k}^p)
\n\\]<\/p>\n
\nE^{pq}_r \\Rightarrow \\Hdr^\\bullet(X)
\n\\]<\/p>\n
\nE^{pq}_1 = \\prod_{i_0 < \\cdots < i_q} \\Hdr^p(V_{i_0, \\ldots, i_q})
\n\\]<\/p>\n
\n\\Hdr^p(V_{i_0,\\ldots,i_q}) = \\HH^p(\\Omega^\\bullet_{V_{i_0,\\ldots,i_q}|k}) =
\nh^p(\\Gamma(V_{i_0,\\ldots,i_q}, \\Omega^\\bullet_{V_{i_0,\\ldots,i_q}|k}))
\n\\]<\/p>\n
\nDer Vorteil mit den $E^{pq}_1 = \\prod_{i_0 < \\cdots < i_q} \\Hdr^p(V_{i_0,\\ldots,i_q})$ zu rechnen, anstelle mit der Seite $E^{pq}_0$ direkt anzufangen, liegt darin, da\u00df die Elemente $E^{pq}_0$ unendliche, aber die $E^{pq}_1$ endliche $k$–Moduln sind.<\/p>\n
\nEs sei $f:X‘ \\to X$ eine eigentliche Abbildung von Schemata und $Y \\subseteq X$ ein Unterschema von $X$, sowie $Y‘ = f^{-1}(Y)$ das Urbildschema von $Y$.<\/p>\n\n
\n$Z’$, $Z$, sowie einen eigentlichen Morphismus $g:Z‘ \\to Z$ mit
\n\\[
\n\\begin{CD}
\nX‘ @>>> Z‘ \\\\
\n@VfVV @VgVV \\\\
\nX @>>> Z
\n\\end{CD}
\n\\]
\nder $Z‘ – g^{-1}(Y)$ isomorph auf $Z – Y$ abbildet.<\/li>\n<\/ol>\n
\n\\cdots \\to \\Hdr^q(X) \\to \\Hdr^q(X‘) \\oplus \\Hdr^q(Y) \\to \\Hdr^q(Y‘) \\to
\n\\Hdr^{q+1}(X) \\to \\cdots
\n\\end{equation}
\n$\\square$<\/p>\n
\n\\begin{CD}
\nX_0′ @>>> Z‘ \\\\
\n@VfVV @VgVV \\\\
\nX_0 @>>> Z
\n\\end{CD}
\n\\]<\/p>\n
\n\\begin{CD}
\nX‘ = f^{-1}(U \\cap X_0) @>>> g^{-1}(U) \\\\
\n@Vf’VV @VgVV \\\\
\nX @>>> U
\n\\end{CD}
\n\\end{equation*}<\/p>\n
\n\\Hdr^{q}(X‘) \\oplus \\Hdr^q(Y) \\to \\Hdr^q(Y‘) \\to \\Hdr^{q+1}(X) \\to \\\\
\n\\to \\Hdr^{q+1}(X‘) \\oplus \\Hdr^{q+1}(Y) \\to \\Hdr^{q+1}(Y‘)
\n\\end{multline}<\/p>\n