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Coherent sheaf cohomology on projective space over a ring

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In 2015 I was thinking on the problem of explicitly computing the cohomology groups $H^i(X,\mathcal{F})$ where $X = \mathbb{P}^n_A$ is a projective space over a noetherian computable ring $A$, that is not necessary a field and $\mathcal{F}$ is a coherent sheaf on $X$.

I found a solution that used only the known values of $H^i(\mathbb{P}^n_A, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(d))$ to justify the calculation.

The sheaf $\mathcal{F}$ is given as $\tilde{M}$ for a finitely presented module $M$ over the graded coordinate ring $S=A[x_0,\ldots,x_n]$ of $X$.

I used a very simple approach using the fact, that $\mathcal{F} = \tilde{M_{\geqslant d}}$ and $M_{\geqslant d} = M_d \oplus M_{d+1} \oplus \cdots$ can be resolved by a resolution

$$
(*) \cdots \to F_i \to F_{i-1} \to \cdots \to F_0 \to M \to 0
$$

where $F_i = \bigoplus_j S(-d_{ij})$ with $d_{ij} > 0$. This resolution is constructed inductively: Let

$$
0 \to Z_i \to F_i \to F_{i-1} \to \cdots \to F_0 \to M \to 0
$$

with $F_i = \bigoplus_j S(-d_{ij})$ and $d_{ij} > 0$ be already constructed. Then a short exact sequence
$$
0 \to Z_{i+1} \to F_{i+1} \to Z_i \to 0
$$
with $F_{i+1} = \bigoplus_j S(-d_{i+1,j})$ can be effectively computed. As we have a map $F_{i+1} \to Z_i \to F_i$ of degree $0$ and $\mathrm{Hom}_S(S(-e), S(-d))_0 = 0$ for $e < d$ we can conclude that automatically $d_{i+1,j} > 0$.

Now I read the long exact sequence of cohomology of coherent sheafs over $\mathbb{P}^n_A$ backwards to conclude that

$$
\mathcal{F} \mapsto H^n(X,\mathcal{F})
$$

is a right exact covariant functor with $H^{n-i}(X,\mathcal{F})$ ($i > 0$) as $i$-th satellite functor, all together forming an exact and effaceable $\delta$-functor.

Effaceable it is by starting with $\mathcal{F} = \tilde{M}$ and choosing a surjection of $S$-modules
$N = \bigoplus_j S(-d_j) \to M \to 0$ and considering $\tilde{N} \to \tilde{M} \to 0$ as the effacement.

So I can compute $H^{n-i}(X,\mathcal{F})$ by applying $H^n(X,-)$ on the (for $H^{n-i}(X,-)$) acyclic resolution (*) and taking cohomology.

I get

$$
H^{n-p}(X,\tilde{M}) = h_p(H^n(X,\tilde{F_i}))
$$

But $H^n(X,\tilde{F_i})$ is, by simple duality for projective space equal to $\mathrm{Hom}_A(\mathrm{Hom}_S(F_i,S(-n-1))_0,A)$, so I take with Macaulay 2 simply

transpose basis(0, Hom(F_.,S(-n-1)))

(the actual command is a bit more complicated) and get a complex of free $A$-modules whose homology computes the $H^{n-i}(X,\tilde{M})$.

I had to overcome some technical obstacles in implementing this in Macaulay 2, but can now for two running examples compute correct values for the cohomology nearly automatically (I just need to enter the initial d in truncate(d, M) by hand).

The code for the full procedure is:

--
-- compute the H^i(proj S, moM~) for S=A[x_1,...,x_n]
--

compCohX = (moM, d) ->
(
S := ring moM;
A := coefficientRing S;
n := numgens S;
moMt := truncate(d, moM);
-- the number 10 must be chosen accordingly with n
C := presX (moMt, 10);
C1 := Hom(C, S^{-n});
Dlis := {};
for i from min(C1) to max (C1) do
(
Dlis = prepend( transpose lift(matrix basis(0, C1.dd_(i)), A), Dlis);
);
D:= chainComplex(Dlis);
D, C, prune HH(D)
);

--
-- compute a free resolution of moM with S(-d_{i,1}) + .. + S(-d_{i,j_i}) terms
--

presX = (moM, k) ->
(
moN := moM;
philis := {};
moN = prune moN;
i := 0;
phi := presentation moN;
degs := degrees target phi;
print degs;
philis = append(philis, phi);
moN = ker phi;
while (((prune moN) != 0) and (i <= k)) do
(
phi = presentation moN;
psi := gens moN;
philis = append(philis, psi);
philis = append(philis, phi);
moN = ker phi;
i = i + 1;
);
D := chainComplex(philis);
return D;
);

Algebraische de Rham Kohomologie berechnen

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$\require{AMScd}$

 

Es sei $X/k$ eine algebraische Varietät über $k = \CC$. Betrachte die Sequenz $(\Omega^\bullet_{X|k})$

\[
\Ohol_X = \Omega^0_{X|k} \xrightarrow{d^0} \Omega^1_{X|k} \xrightarrow{d^1} \Omega^2_{X|k}
\xrightarrow{d^2} \cdots
\]

wobei $\Omega^p_{X|k} = \bigwedge^p \Omega_{X|k}$ und $d^p:\Omega^p_{X|k} \to \Omega^{p+1}_{X|k}$ die äußere Ableitung ist. Diese ist $k$–linear aber nicht $\Ohol_X$–linear.

Man definiert die $i$–te de Rham Kohomologie von $X$ als

\[
\Hdr^i(X) = \HH^i(\Omega^\bullet_{X|k})
\]

wobei $\HH^i(L^\bullet)$ für die $i$–te Hyperkohomologie des Komplexes $L^\bullet$ steht.

Ist $X$ eine affine Varietät, so ist

\[
\HH^i(\Omega^\bullet_{X|k}) = h^i(\Omega^\bullet_{X|k}(X))
\]

wobei $h^i(L^\bullet)$ für die gewöhnliche $i$–te Kohomologie von $L^\bullet$ steht. Dies gilt, weil $H^j(X, \Omega^p_{X|k}) = 0$ für $j > 0$, denn $\Omega^p_{X|k}$ ist eine quasikohärente Garbe auf einem affinen Schema.

Theorem
Es sei $U = X – Y$ mit $X = \AFF^n_k$ und $Y = V(f_1,\ldots,f_r)$ einem abgeschlossenen Unterschema von $X$. Es ist dann konstruktiv möglich $\Hdr^i(U)$ zu berechnen.$\square$

Dies geschieht mittels $D$–Moduln und ist beschrieben in

Algorithmic Computation of de Rham Cohomology of Complements of Complex Affine Varieties,
U. Walther, J. Symb. Comput. 29, No. 4–5, 795–839

Aus

On the De Rham cohomology of algebraic varieties,
R. Hartshorne, Publ. Math., Inst. Hautes \’Etud. Sci. 45, 5–99

entnehmen wir in der Situation des Theorems und mit der Zusatzannahme, daß $Y$ glatt ist, die Sequenz (Theorem 3.3):

\[
\cdots H_q(Y) \to H_q(X) \to H_q(X – Y) \to H_{q-1}(Y) \to H_{q-1}(X) \to \cdots
\]

wo $H_q(W)$ für die dort definierte de Rham Homologie steht, und die Beziehungen (Proposition 3.4)

\begin{align*}
H_q(X) & = \Hdr^{2n – q}(X) \\
H_q(Y) & = \Hdr^{2r – q}(Y)
\end{align*}

mit $\dim X = n$ und $\dim Y = r$ gelten.

Zusammen ergibt dies

\[
\cdots \to \Hdr^{2 r – q}(Y) \to \Hdr^{2 n – q}(X) \to \Hdr^{2 n – q}(U) \to
\Hdr^{2r – q + 1}(Y) \to \Hdr^{2 n – q + 1}(X) \to \cdots
\]

oder auch mit $s = \codim(Y, X) = n-r$:

\[
\cdots \to \Hdr^{q – 2 s}(Y) \to \Hdr^q(X) \to \Hdr^q(U) \to \Hdr^{q + 1 – 2 s}(Y) \to
\Hdr^{q+1}(X) \to \cdots
\]

Nun ist aber $\Hdr^q(X) = \Hdr^q(\AFF^n_k) = 0$ für $q > 0$, also

\[
\Hdr^i(Y) = \Hdr^{i + 2 s – 1}(U)
\]

Da $\Hdr^q(U)$ nach obigem Theorem für alle $q$ berechnet werden kann, gilt dies auch für
$\Hdr^i(Y)$.

Es ist nun der Fall eines allgemeinen quasiprojektiven $X \subseteq \PSP^n_k$ zu diskutieren. Wir nehmen zunächst an, daß $X$ glatt ist.

Es sei

\[
X = \bar{X} \cap (\PSP^n_k – Z) = \bar{X} \cap U
\]

mit abgeschlossenen Schemata $\bar{X}, Z \subseteq \PSP^n_k$ und $Z = V(g_1,\ldots,g_s)$ wo $g_i$ homogene Polynome im Koordinatenring von $\PSP^n_k$ sind.

Nimmt man die offenen Mengen

\[
U_i = D_+(g_i) \subseteq \PSP^n_k
\]

so ist $V_i = U_i \cap X$ eine offene Überdeckung von $X$ mit affinen, in $X$ offenen, Mengen.

Es ist sogar $V_{i_0 \cdots i_q} = U_{i_0 \cdots i_q} \cap X \subseteq U_{i_0 \cdots i_q}$ ein abgeschlossenes glattes, affines Unterschema des affinen Schemas

\[
U_{i_0 \cdots i_q} = U_{i_0} \cap \cdots \cap U_{i_q} = D_+(g_{i_0} \cdot \cdots \cdot g_{i_q}).
\]

Mit einer Veronese–Einbettung $v_d: \PSP^n_k \to \PSP^N_k$ wobei $d = \prod_{\nu = 0}^q \deg g_{i_\nu}$ ist, ist

\[
v_d:v_d^{-1}(D_+(w)) = U_{i_0 \cdots i_q} \to D_+(w) = \AFF^N_k
\]

eine abgeschlossene Immersion. Dabei ist $w$ eine aus $\prod_{\nu=1}^q g_{i_\nu}$ abgeleitete Linearform im Koordinatenring von $\PSP^N_k$.

Da $i: V_{i_0 \cdots i_q} \to U_{i_0 \cdots i_q}$ eine abgeschlossene Immersion ist, ist auch

\[
v’_d = v_d \circ i:V_{i_0 \cdots i_q} \to U_{i_0 \cdots i_q} \xrightarrow{v_d} D_+(w) = \AFF^N_k
\]

eine abgeschlossene Immersion.

Es ist also $V_{i_0 \cdots i_q} \cong v’_d(V_{i_0 \cdots i_q})$ sogar ein glattes abgeschlossenes Unterschema von $\AFF^N_k$.

Nach obigem ist damit $\Hdr^p(V_{i_0\cdots i_q})$ explizit berechenbar.

 

Betrachte nun die Cech-de Rham Spektralsequenz für die Überdeckung $\cover{V} = (V_i)_{i\in I}$ von $X$:

\[
E^{pq}_0 = \Cc^q(\cover{V},\Omega_{X|k}^p) =
\prod_{i_0 < \cdots < i_q} \Gamma(V_{i_0,\ldots,i_q}, \Omega_{X|k}^p)
\]

Nach allgemeinen Sätzen konvergiert $E^{pq}_r$ gegen die $\Hdr^\bullet(X)$:

\[
E^{pq}_r \Rightarrow \Hdr^\bullet(X)
\]

Siehe dafür

 

On the de Rham cohomology of algebraic varieties, M. Stevenson,

http://www-personal.umich.edu/~stevmatt/algebraic_de_rham.pdf

Abschnitt 4.1, p. 7.

 

Bildet man $E^{pq}_1$ mit Bildung der Kohomologie entlang der $p$–Achse, so ergibt sich

\[
E^{pq}_1 = \prod_{i_0 < \cdots < i_q} \Hdr^p(V_{i_0, \ldots, i_q})
\]

Man beachte dafür, daß, weil $V_{i_0,\ldots,i_q}$ affin, die Gleichheit

\[
\Hdr^p(V_{i_0,\ldots,i_q}) = \HH^p(\Omega^\bullet_{V_{i_0,\ldots,i_q}|k}) =
h^p(\Gamma(V_{i_0,\ldots,i_q}, \Omega^\bullet_{V_{i_0,\ldots,i_q}|k}))
\]

gilt.

Wie oben bemerkt ist $\Hdr^p(V_{i_0,\ldots,i_q})$ explizit berechenbar und zumindest theoretisch ist damit auch der Grenzwert $\Hdr^\bullet(X)$ der Spektralsequenz einer expliziten Berechnung zugänglich.

Bemerkung
Der Vorteil mit den $E^{pq}_1 = \prod_{i_0 < \cdots < i_q} \Hdr^p(V_{i_0,\ldots,i_q})$ zu rechnen, anstelle mit der Seite $E^{pq}_0$ direkt anzufangen, liegt darin, daß die Elemente $E^{pq}_0$ unendliche, aber die $E^{pq}_1$ endliche $k$–Moduln sind.

Das folgende Theorem ist aus obiger Arbeit von Hartshorne (Theorem 4.4):

Theorem
Es sei $f:X‘ \to X$ eine eigentliche Abbildung von Schemata und $Y \subseteq X$ ein Unterschema von $X$, sowie $Y‘ = f^{-1}(Y)$ das Urbildschema von $Y$.

Es gelte

  1. Die Abbildung $f$ bilde $X‘ – Y’$ isomorph auf $X – Y$ ab.
  2. Weiter gebe es abgeschlossene Immersionen $X‘ \to Z’$ und $X \to Z$ in glatte Schemata
    $Z’$, $Z$, sowie einen eigentlichen Morphismus $g:Z‘ \to Z$ mit
    \[
    \begin{CD}
    X‘ @>>> Z‘ \\
    @VfVV @VgVV \\
    X @>>> Z
    \end{CD}
    \]
    der $Z‘ – g^{-1}(Y)$ isomorph auf $Z – Y$ abbildet.

Dann gibt es eine lange exakte Sequenz in der de Rham–Kohomologie

\begin{equation}
\cdots \to \Hdr^q(X) \to \Hdr^q(X‘) \oplus \Hdr^q(Y) \to \Hdr^q(Y‘) \to
\Hdr^{q+1}(X) \to \cdots
\end{equation}
$\square$

 

Wir können es verwenden, um für ein beliebiges quasiprojektives Schema $X \subseteq \PSP^n_k = Z$ die Kohomologien $\Hdr^q(X)$ zu berechnen.

Wir schreiben $X = X_0 \cap U$ mit einem abgeschlossenen $X_0 \subseteq \PSP^n_k$ und einem offenen $U \subseteq \PSP^n_k$.

Wir können für $X_0$ eine Desingularisierung $f:X_0′ \to X_0$ finden, sowie einen eigentlichen Morphismus $g:Z‘ \to Z$ mit

\[
\begin{CD}
X_0′ @>>> Z‘ \\
@VfVV @VgVV \\
X_0 @>>> Z
\end{CD}
\]

wo die waagrechten Abbildungen abgeschlossene Immersionen und $X_0’$ und $Z’$ glatte Schemata sind. (Vergleiche die Bemerkung nach dem obigen Theorem in dem Artikel von Hartshorne). Die Abbildung $g$ ist die wiederholte Aufblasung an regulären Unterschemata.

Der Morphismus $f:X_0′ \to X_0$ erfüllt nun die Bedingungen des vorigen Theorems mit $X = X_0$, $X‘ = X_0’$ sowie $Y = Y_0 \subseteq X_0$, geeignetes echtes Unterschema mit $\dim Y_0 < \dim X_0$, und $Y‘ = Y_0′ = f^{-1}(Y_0)$. Man kann $Y_0$ als das Unterschema der singulären Punkte von $X_0$ wählen, (\glqq strong desingularization\grqq).

Bildet man die Basiserweiterung von $g$ mit $U \to Z$ und die von $f$ mit $U \cap X_0 \to X_0$, so ergibt sich ein kompatibles System

\begin{equation*}
\begin{CD}
X‘ = f^{-1}(U \cap X_0) @>>> g^{-1}(U) \\
@Vf’VV @VgVV \\
X @>>> U
\end{CD}
\end{equation*}

so daß der Morphismus $f‘:f^{-1}(U \cap X_0) \to X$ die Bedingungen des vorigen Theorems mit $X = X$, $X‘ = f^{-1}(U \cap X_0)$, $Y = Y_0 \cap U$, $Y‘ = f’^{-1}(Y_0 \cap U)$ erfüllt.

Es ist aber $X’$ als offener Teil von $X_0’$ ein glattes, quasiprojektives Schema, so daß $\Hdr^q(X‘)$ berechenbar ist. Ebenso sind $\Hdr^q(Y)$ und $\Hdr^q(Y‘)$ kraft Induktion über die Dimension der Varietät, deren Kohomologie gesucht wird, berechenbar.

Die lange exakte Sequenz aus dem vorigen Theorem ergibt deshalb Bedingungen, aus denen sich auch $\Hdr^q(X)$ berechnen läßt:

\begin{multline}
\Hdr^{q}(X‘) \oplus \Hdr^q(Y) \to \Hdr^q(Y‘) \to \Hdr^{q+1}(X) \to \\
\to \Hdr^{q+1}(X‘) \oplus \Hdr^{q+1}(Y) \to \Hdr^{q+1}(Y‘)
\end{multline}

Damit können nun $\Hdr^q(X)$ für alle quasiprojektiven $X \subseteq \PSP^n_k$ berechnet werden.